দাখিল পরীক্ষা ২০২৬ গণিত বহুনির্বাচনি এবং সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান - Dakhil Final Exam 2026 Math Questions Solution

Admin
Admin
April 26, 2026
0
Join Telegram for More Books

দাখিল পরীক্ষা, ২০২৬ – গণিত বহুনির্বাচনি (MCQ) প্রশ্ন ও সমাধান | সেট: ক

দাখিল পরীক্ষা ২০২৬ গণিত বহুনির্বাচনি এবং সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান - Dakhil Final Exam 2026 Math Questions Solution

দাখিল পরীক্ষা ২০২৬ - গণিত

বিষয়: গণিত (বহুনির্বাচনি অভীক্ষা) | বিষয় কোড: ১০৮

বিষয় কোড: ১০৮ | সময়: ৩০ মিনিট | পূর্ণমান: ৩০
[দ্রষ্টব্য: সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসম্বলিত বৃত্তসমূহ হতে সঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়েন্ট কলম দ্বারা সম্পূর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মান ১। সকল প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে।]

১। A = {0, 1} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
(ক) 1
(খ) 2
(গ) 3 (সঠিক উত্তর)
(ঘ) 4

২। A = {(1, 0), (2, 3), (3, 4)} অন্বয়ের ডোমেন নিচের কোনটি?
(ক) {1, 2, 3} (সঠিক উত্তর)
(খ) {1, 2, 4}
(গ) {0, 3, 4}
(ঘ) {0, 2, 3}

৩। f(x) = x³ – 2x + 3 হলে, f(-2) এর মান নিচের কোনটি?
(ক) -7
(খ) -1 (সঠিক উত্তর)
(গ) 1
(ঘ) 7

৪। p³ + 1/p³ রাশিটি সমান—
i. (p + 1/p)³ – 3(p + 1/p)
ii. (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)
iii. (p + 1/p)(p² + 1/p² – 1)
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii
(খ) i ও iii (সঠিক উত্তর)
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii ও iii

৫। tanθ = 1/√3 হলে, θ এর মান কোনটি?
(ক) 30° (সঠিক উত্তর)
(খ) 45°
(গ) 60°
(ঘ) 75°

৬। p² + 9q² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
(ক) 4 pq
(খ) 6 pq (সঠিক উত্তর)
(গ) 12 pq
(ঘ) 18 pq

উদ্দীপক: p² – √5p + 1 = 0. উপরের তথ্যের আলোকে ৭ ও ৮নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

৭। p + 1/p এর মান কত?
(ক) -5
(খ) -√5
(গ) √5 (সঠিক উত্তর)
(ঘ) 5

৮। (p – 1/p)² এর মান কত?
(ক) 1 (সঠিক উত্তর)
(খ) 3
(গ) 7
(ঘ) 9

৯। 2 : 3 = p : 6 হলে, 2p এর মান কোনটি?
(ক) 2
(খ) 4
(গ) 8 (সঠিক উত্তর)
(ঘ) 12

১০। চিত্রে, PQ ব্যাস হলে, ∠PRQ = কত? (চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PRQ একটি ত্রিভুজ)
(ক) 30°
(খ) 45°
(গ) 60°
(ঘ) 90° (সঠিক উত্তর)

১১। A = {2, 4, 6} এবং B = {2, 3, 4, 5} হলে, A ∩ B নিচের কোনটি?
(ক) {2, 4} (সঠিক উত্তর)
(খ) {2, 4, 5}
(গ) {2, 3, 4, 5}
(ঘ) {2, 3, 4, 5, 6}

১২। x + y = 3 এবং xy = 2 হলে, x² + y² এর মান নিচের কোনটি?
(ক) 1
(খ) 5 (সঠিক উত্তর)
(গ) 29
(ঘ) 33

উদ্দীপক: উপরের চিত্রের আলোকে ১৩ ও ১৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও: (চিত্রে বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ PQRS, বহিঃস্থ কোণ ∠SRE = 85°)

১৩। উপরের চিত্রের আলোকে ∠QPS এর মান কত ডিগ্রী?
(ক) 65°
(খ) 75°
(গ) 85° (সঠিক উত্তর)
(ঘ) 95°

১৪। চিত্রে ∠PQR + ∠PSR = কত ডিগ্রী?
(ক) 85°
(খ) 160°
(গ) 170°
(ঘ) 180° (সঠিক উত্তর)

১৫। দুইটি সংখ্যার অনুপাত 2:3 এবং এদের গ. সা. গু. 5 হলে, সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু. কত?
(ক) 10
(খ) 15
(গ) 25
(ঘ) 30 (সঠিক উত্তর)

১৬। x, y ও z ক্রমিক সমানুপাতী হলে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) y² = zx (সঠিক উত্তর)
(খ) x = y = z
(গ) x² = yz
(ঘ) xy = yz

১৭। একটি নির্দিষ্ট বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?
(ক) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
(খ) বিষমবাহু ত্রিভুজ
(গ) রম্বস
(ঘ) বর্গ (সঠিক উত্তর)

১৮। একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব যদি দেওয়া থাকে—
i. দুইটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ
ii. তিনটি বাহু
iii. দুইটি কোণ ও একটির বিপরীত বাহু
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii (সঠিক উত্তর)
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii ও iii

১৯। বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?
(ক) 1টি
(খ) 2টি (সঠিক উত্তর)
(গ) 3টি
(ঘ) 4টি

২০। cosecθ + cotθ = 5/2 হলে, cosecθ – cotθ = কত?
(ক) -3/2
(খ) -5/2
(গ) 2/5 (সঠিক উত্তর)
(ঘ) 3/2

২১। কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ কোন ধরনের?
(ক) স্থূলকোণ
(খ) সূক্ষ্মকোণ (সঠিক উত্তর)
(গ) সমকোণ
(ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ

২২। ঘনকের একটি ধার 3 সে.মি. হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(ক) 9
(খ) 18
(গ) 27
(ঘ) 54 (সঠিক উত্তর)

২৩। নিচের কোনটি অবিচ্ছিন্ন চলক?
(ক) উচ্চতা (সঠিক উত্তর)
(খ) পাখির সংখ্যা
(গ) জনসংখ্যা
(ঘ) প্রাপ্ত নম্বর

২৪। ত্রিকোণমিতিক অভেদের ক্ষেত্রে—
i. sec²θ – tan²θ = 1
ii. sin²θ – cos²θ = 1
iii. cosec²θ – cot²θ = 1
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii
(খ) i ও iii (সঠিক উত্তর)
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii ও iii

২৫। sin(θ + 30°) = 1 হলে, θ এর মান কোনটি?
(ক) 30°
(খ) 45°
(গ) 60° (সঠিক উত্তর)
(ঘ) 90°

২৬। একটি রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 সে.মি. ও 8 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
(ক) 4 বর্গ সে.মি.
(খ) 12 বর্গ সে.মি.
(গ) 16 বর্গ সে.মি. (সঠিক উত্তর)
(ঘ) 32 বর্গ সে.মি.

উদ্দীপক: নিচের সারণি থেকে ২৭ ও ২৮নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
শ্রেণি ব্যাপ্তি 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79
গণসংখ্যা 4 6 10 8 7

২৭। মধ্যক শ্রেণির ঊর্ধ্বসীমা কোনটি?
(ক) 59 (সঠিক উত্তর)
(খ) 60
(গ) 69
(ঘ) 70

২৮। প্রচুরক শ্রেণির শ্রেণিব্যাপ্তি কোনটি?
(ক) 5
(খ) 6
(গ) 9
(ঘ) 10 (সঠিক উত্তর)

২৯। কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ কয়টি?
(ক) 1টি
(খ) 2টি
(গ) 3টি (সঠিক উত্তর)
(ঘ) 4টি

৩০। একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. হলে পরিধি কত?
(ক) 16π
(খ) 8π
(গ) 4π (সঠিক উত্তর)
(ঘ) 2π

আরও শিক্ষামূলক তথ্য, পরীক্ষার রুটিন, শর্ট সাজেশন এবং বিভিন্ন বিষয়ের নোট পেতে নিয়মিত ভিজিট করুন www.talimit.net। পোস্টটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করতে ভুলবেন না!

সৃজনশীল প্রশ্ন

সময়— ২ ঘণ্টা ৩০ মিনিট | পূর্ণমান— ৭০

[দ্রষ্টব্য : ডান পাশের সংখ্যা প্রশ্নের পূর্ণমান জ্ঞাপক। ৯নং প্রশ্নসহ প্রত্যেক বিভাগ থেকে ন্যূনতম একটি করে প্রশ্ন নিয়ে মোট ছয়টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে।]

ক বিভাগ—বীজগণিত

১। P = {1, 2}, Q = {3, 4} ও R = {4, 5} এবং f(x) = (3x+1) / (3x-1)।

(ক) A = {a, b, c} হলে P(A) নির্ণয় কর।

সমাধান:

দেওয়া আছে,
A = {a, b, c}

P(A) বা A এর পাওয়ার সেট (Power Set) হলো A সেটের সকল সম্ভাব্য উপসেট নিয়ে গঠিত একটি নতুন সেট।

যেহেতু A সেটের উপাদান সংখ্যা ৩টি, তাই এর উপসেট সংখ্যা হবে 23 = 8 টি。
উপসেটগুলো হলো: ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} এবং {a, b, c}

সুতরাং, নির্ণেয় পাওয়ার সেট:
P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} (উত্তর)

(খ) দেখাও যে, P × (Q ∩ R) = (P × Q) ∩ (P × R)

সমাধান:

দেওয়া আছে,
P = {1, 2}
Q = {3, 4}
R = {4, 5}

বামপক্ষের কাজ:

প্রথমে ব্র্যাকেটের ভেতরের (Q ∩ R) এর মান বের করে নিই:
Q ∩ R = {3, 4} ∩ {4, 5} = {4} (দুটি সেটের মধ্যে শুধু 4 কমন বা সাধারণ উপাদান)

এখন,
বামপক্ষ = P × (Q ∩ R)
= {1, 2} × {4}
= {(1, 4), (2, 4)}

ডানপক্ষের কাজ:

প্রথমে (P × Q) এবং (P × R) এর মান বের করে নিই:
P × Q = {1, 2} × {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
P × R = {1, 2} × {4, 5} = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5)}

এখন,
ডানপক্ষ = (P × Q) ∩ (P × R)
= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} ∩ {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5)}
= {(1, 4), (2, 4)} (দুটি সেটের মধ্যে কমন উপাদানগুলো নিলাম)

দেখা যাচ্ছে, বামপক্ষের মান এবং ডানপক্ষের মান একদম সমান。
সুতরাং, P × (Q ∩ R) = (P × Q) ∩ (P × R) (দেখানো হলো)

(গ) প্রমাণ কর যে, {f(1/x) + 1} / {f(1/x) - 1} = 3/x

সমাধান:

দেওয়া আছে,
f(x) = (3x + 1) / (3x - 1)

প্রথমে x-এর জায়গায় 1/x বসিয়ে f(1/x) এর মান বের করি:
f(1/x) = {3(1/x) + 1} / {3(1/x) - 1}
f(1/x) = (3/x + 1) / (3/x - 1)

এখন আমাদের প্রমাণ করতে হবে:
বামপক্ষ = {f(1/x) + 1} / {f(1/x) - 1}

এই অংশটি সমাধানের সবচেয়ে সহজ উপায় হলো যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করা。
আমরা জানি,
f(1/x) / 1 = (3/x + 1) / (3/x - 1)

উভয়পক্ষকে যোজন-বিয়োজন (লব + হর / লব - হর) করে পাই:
{f(1/x) + 1} / {f(1/x) - 1} = {(3/x + 1) + (3/x - 1)} / {(3/x + 1) - (3/x - 1)}

ব্র্যাকেট তুলে দিলে:
= {3/x + 1 + 3/x - 1} / {3/x + 1 - 3/x + 1}

উপরের অংশে +1 এবং -1 কাটা যায়। নিচের অংশে +3/x এবং -3/x কাটা যায়:
= (3/x + 3/x) / (1 + 1)
= (6/x) / 2
= 6 / (x × 2)
= 3 / x
= ডানপক্ষ

সুতরাং, {f(1/x) + 1} / {f(1/x) - 1} = 3 / x (প্রমাণিত)

২। (√(1+y) + √(1-y)) / (√(1+y) – √(1-y)) = m এবং A = (p2 + q2) / (q2 + r2), B = (p + q)2 / (q + r)2।

(ক) কোনো একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 30 সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 7 : 5 : 3 হলে বৃহত্তম বাহুর পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 7 : 5 : 3
এবং ত্রিভুজটির পরিসীমা = 30 সে.মি.

ধরি, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7x সে.মি., 5x সে.মি. এবং 3x সে.মি.।
আমরা জানি, ত্রিভুজের পরিসীমা হলো এর তিনটি বাহুর যোগফল।

প্রশ্নমতে,
7x + 5x + 3x = 30
⇒ 15x = 30
⇒ x = 30 / 15
⇒ x = 2

এখানে বৃহত্তম বাহুটি হলো 7x।
সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর পরিমাণ = 7 × 2 সে.মি. = 14 সে.মি.

উত্তর: বৃহত্তম বাহুর পরিমাণ 14 সে.মি.।

(খ) প্রমাণ কর যে, m2 - 2m/y + 1 = 0

সমাধান:

দেওয়া আছে,
[√(1+y) + √(1-y)] / [√(1+y) - √(1-y)] = m
বা, [√(1+y) + √(1-y)] / [√(1+y) - √(1-y)] = m / 1

উভয়পক্ষকে যোজন-বিয়োজন (লব + হর / লব - হর) করে পাই:
{[√(1+y) + √(1-y)] + [√(1+y) - √(1-y)]} / {[√(1+y) + √(1-y)] - [√(1+y) - √(1-y)]} = (m + 1) / (m - 1)

ব্র্যাকেট তুলে যোগ-বিয়োগ করলে:
[√(1+y) + √(1-y) + √(1+y) - √(1-y)] / [√(1+y) + √(1-y) - √(1+y) + √(1-y)] = (m + 1) / (m - 1)
2√(1+y) / 2√(1-y) = (m + 1) / (m - 1)

উপর-নিচ থেকে 2 কাটা যায়:
√(1+y) / √(1-y) = (m + 1) / (m - 1)

এখন রুট (√) তোলার জন্য উভয়পক্ষকে বর্গ করি:
(1+y) / (1-y) = (m2 + 2m + 1) / (m2 - 2m + 1)

পুনরায় উভয়পক্ষকে যোজন-বিয়োজন করি:
[(1+y) + (1-y)] / [(1+y) - (1-y)] = [(m2 + 2m + 1) + (m2 - 2m + 1)] / [(m2 + 2m + 1) - (m2 - 2m + 1)]
[1 + y + 1 - y] / [1 + y - 1 + y] = [m2 + 2m + 1 + m2 - 2m + 1] / [m2 + 2m + 1 - m2 + 2m - 1]
2 / 2y = (2m2 + 2) / 4m

বামপাশে 2 কেটে যায় এবং ডানপাশের লব থেকে 2 কমন নিই:
1 / y = 2(m2 + 1) / 4m
1 / y = (m2 + 1) / 2m

এখন আর-গুণন (Cross-multiply) করি:
2m = y(m2 + 1)

উভয়পক্ষকে y দিয়ে ভাগ করি:
2m / y = m2 + 1

সবগুলো পদ একপাশে নিয়ে সাজিয়ে লিখি:
m2 - 2m/y + 1 = 0
(প্রমাণিত)

(গ) যদি A = B হয়, তবে দেখাও যে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী।

সমাধান:

p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী হওয়ার অর্থ হলো p / q = q / r বা q2 = pr প্রমাণ করতে হবে।

দেওয়া আছে,
A = (p2 + q2) / (q2 + r2)
এবং B = (p + q)2 / (q + r)2

প্রশ্নমতে, A = B
⇒ (p2 + q2) / (q2 + r2) = (p2 + 2pq + q2) / (q2 + 2qr + r2)

সহজ সমাধানের জন্য উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করি:
[(p2 + q2) / (q2 + r2)] - 1 = [(p2 + 2pq + q2) / (q2 + 2qr + r2)] - 1

ল.সা.গু করে বিয়োগ করি:
[p2 + q2 - (q2 + r2)] / (q2 + r2) = [p2 + 2pq + q2 - (q2 + 2qr + r2)] / (q + r)2
[p2 + q2 - q2 - r2] / (q2 + r2) = [p2 + 2pq + q2 - q2 - 2qr - r2] / (q + r)2
(p2 - r2) / (q2 + r2) = (p2 - r2 + 2pq - 2qr) / (q + r)2

বামপাশে a2 - b2 এর সূত্র ফেলি এবং ডানপাশে কমন নিই:
(p - r)(p + r) / (q2 + r2) = [(p - r)(p + r) + 2q(p - r)] / (q + r)2

ডানপাশের লব থেকে (p - r) কমন নিই:
(p - r)(p + r) / (q2 + r2) = [(p - r)(p + r + 2q)] / (q + r)2

উভয়পক্ষকে (p - r) দ্বারা ভাগ করে পাই (ধরি, p ≠ r):
(p + r) / (q2 + r2) = (p + r + 2q) / (q2 + 2qr + r2)

এখন আর-গুণন করি:
(p + r)(q2 + 2qr + r2) = (q2 + r2)(p + r + 2q)

গুণফল বের করি:
pq2 + 2pqr + pr2 + rq2 + 2qr2 + r3 = pq2 + rq2 + pr2 + r3 + 2q3 + 2qr2

উভয়পক্ষ থেকে একই পদগুলো (pq2, pr2, rq2, 2qr2, r3) বাদ দিই:
2pqr = 2q3

উভয়পক্ষকে 2q দিয়ে ভাগ করি (যেহেতু q ≠ 0):
pr = q2
অর্থাৎ, q2 = pr
বা, q / r = p / q
বা, p / q = q / r

সুতরাং, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী।
(দেখানো হলো)

খ বিভাগ—জ্যামিতি

৩ নং সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান (জ্যামিতি)

দেওয়া আছে,
a = 4 সে.মি., b = 5.5 সে.মি., c = 6.5 সে.মি.
∠X = 60° এবং ∠Y = 50°

(ক) কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. হলে ত্রিভুজটি আঁক।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য d = 5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

  1. যেকোনো একটি রশ্মি BD নিই। BD থেকে d = 5 সে.মি. এর সমান করে BC রেখাংশ কেটে নিই।
  2. এখন B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে BC এর সমান (5 সে.মি.) ব্যাসার্ধ নিয়ে BC রেখাংশের একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
  3. মনে করি, বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
  4. A, B এবং A, C যোগ করি।

তাহলে, ΔABC-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।

(বিঃদ্রঃ পরীক্ষার খাতায় পেন্সিল ও স্কেল দিয়ে প্রথমে ৫ সে.মি. এর একটি রেখা টেনে নিবে এবং কম্পাসের সাহায্যে উপরে বর্ণিত ধাপে চিত্রটি আঁকবে।)

(খ) একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠X ও ∠Y এবং পরিসীমা (b + c) সে.মি. হলে ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠X = 60° ও ∠Y = 50° এবং পরিসীমা p = (b + c) = (5.5 + 6.5) সে.মি. = 12 সে.মি.। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে。

অঙ্কনের বিবরণ:

  1. যেকোনো রশ্মি DF থেকে পরিসীমা p = 12 সে.মি. এর সমান করে DE রেখাংশ কেটে নিই।
  2. D ও E বিন্দুতে DE রেখাংশের একই পাশে যথাক্রমে ∠X = 60° এর সমান করে ∠EDK এবং ∠Y = 50° এর সমান করে ∠DEL অঙ্কন করি।
  3. এখন কোণ দুইটির সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে DG ও EH রশ্মি আঁকি। (অর্থাৎ, ∠EDK ও ∠DEL কে সমান দুই ভাগে ভাগ করি)।
  4. মনে করি, DG ও EH রশ্মিদ্বয় পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
  5. এখন A বিন্দুতে AD রেখাংশের যে পাশে E বিন্দু আছে, সেই পাশে ∠ADE এর সমান করে ∠DAB অঙ্কন করি।
  6. একইভাবে, A বিন্দুতে AE রেখাংশের যে পাশে D বিন্দু আছে, সেই পাশে ∠AED এর সমান করে ∠EAC অঙ্কন করি।
  7. মনে করি, AB ও AC রশ্মিদ্বয় DE রেখাংশকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে, ΔABC-ই হলো উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

(গ) a, b ও c বাহু দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করে পরিবৃত্ত আঁক।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 4 সে.মি., b = 5.5 সে.মি. এবং c = 6.5 সে.মি.। প্রথমে ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে এবং এরপর এর পরিবৃত্ত আঁকতে হবে。

ধাপ ১: ত্রিভুজ অঙ্কন

  1. যেকোনো রশ্মি BD থেকে বৃহত্তম বাহু c = 6.5 সে.মি. এর সমান করে BC রেখাংশ কেটে নিই।
  2. B বিন্দুকে কেন্দ্র করে b = 5.5 সে.মি. এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC রেখাংশের একপাশে একটি বৃত্তচাপ আঁকি।
  3. আবার, C বিন্দুকে কেন্দ্র করে a = 4 সে.মি. এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একই পাশে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকি।
  4. মনে করি, বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
  5. A, B এবং A, C যোগ করি।

তাহলে ΔABC-ই হলো উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

ধাপ ২: পরিবৃত্ত অঙ্কন

  1. এখন ΔABC এর যেকোনো দুটি বাহু, ধরো AB ও AC বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে PQ ও RS অঙ্কন করি। (কম্পাসের সাহায্যে বাহুর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকতে হয়)।
  2. মনে করি, PQ ও RS লম্বদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
  3. O, A যোগ করি।
  4. এখন O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি। এই বৃত্তটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু A, B এবং C দিয়ে যাবে।

তাহলে, কেন্দ্র O বিশিষ্ট এই বৃত্তটিই হলো ΔABC এর উদ্দিষ্ট পরিবৃত্ত।

৪। দৃশ্যকল্প-(i) : Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু L থেকে বৃত্তে LM এবং LN দুইটি স্পর্শক।
দৃশ্যকল্প-(ii) : (চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ)।

(ক) 3 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের একটি বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন কর।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 3 সে.মি. দেওয়া আছে। বৃত্তের উপরস্থ একটি বিন্দু P তে একটি স্পর্শক আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

  1. স্কেলের সাহায্যে 3 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে কম্পাস দিয়ে O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকি।
  2. বৃত্তের পরিধির উপর যেকোনো একটি বিন্দু P নিই।
  3. O এবং P যোগ করি। তাহলে OP হলো বৃত্তটির ব্যাসার্ধ।
  4. এখন P বিন্দুতে OP রেখাংশের উপর লম্ব PT অঙ্কন করি। (কম্পাসের সাহায্যে P বিন্দুতে 90° কোণ এঁকে লম্ব টানতে হবে)।

তাহলে, PT-ই হলো নির্ণেয় স্পর্শক।

(খ) দৃশ্যকল্প-(i) হতে প্রমাণ কর যে, LM = LN।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: দৃশ্যকল্প-(i) অনুযায়ী, Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু L থেকে বৃত্তের উপর LM এবং LN দুইটি স্পর্শক। স্পর্শবিন্দু দুইটি হলো যথাক্রমে M ও N।
প্রমাণ করতে হবে যে, LM = LN।

অঙ্কন: Q, M ; Q, N এবং Q, L যোগ করি。

প্রমাণ:

  • ধাপ ১: যেহেতু LM একটি স্পর্শক এবং QM হলো স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, সুতরাং, QM ⊥ LM (স্পর্শক, স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব)।
    অতএব, ∠QML = 1 সমকোণ বা 90°।
  • ধাপ ২: একইভাবে, LN স্পর্শক এবং QN স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ হওয়ায়, QN ⊥ LN।
    অতএব, ∠QNL = 1 সমকোণ বা 90°।
    কাজেই ΔQML এবং ΔQNL উভয়েই সমকোণী ত্রিভুজ।
  • ধাপ ৩: এখন সমকোণী ত্রিভুজ ΔQML এবং সমকোণী ত্রিভুজ ΔQNL -এর মধ্যে:
    অতিভুজ QL = অতিভুজ QL (সাধারণ বাহু)
    এবং QM = QN (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে)।
  • ধাপ ৪: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য (RHS criterion) অনুযায়ী, ΔQML ≅ ΔQNL।

অতএব, LM = LN। (প্রমাণিত)

(গ) দৃশ্যকল্প-(ii) হতে প্রমাণ কর যে, ∠PQR + ∠PSR = 2 সমকোণ।

সমাধান:

বিশেষ নির্বচন: দৃশ্যকল্প-(ii) অনুযায়ী, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ (বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ)।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠PQR + ∠PSR = 2 সমকোণ।

অঙ্কন: বৃত্তের কেন্দ্র O এর সাথে P এবং R যোগ করি। অর্থাৎ O, P এবং O, R যোগ করি।

প্রমাণ:

  • ধাপ ১: একই উপচাপ (minor arc) PQR এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠POR এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠PSR।
    আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
    সুতরাং, ∠POR = 2∠PSR ............ (সমীকরণ ১)
  • ধাপ ২: আবার, একই অধিচাপ (major arc) PSR এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle) ∠POR এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠PQR।
    একই উপপাদ্য অনুযায়ী,
    প্রবৃদ্ধ ∠POR = 2∠PQR ............ (সমীকরণ ২)
  • ধাপ ৩: এখন, সমীকরণ (১) এবং (২) যোগ করে পাই:
    ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = 2∠PSR + 2∠PQR
    বা, ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = 2(∠PSR + ∠PQR)
  • ধাপ ৪: কিন্তু, আমরা জানি একটি বিন্দুর চারপাশের মোট কোণের পরিমাণ 360° বা 4 সমকোণ।
    অর্থাৎ, ∠POR + প্রবৃদ্ধ ∠POR = 4 সমকোণ。
    সুতরাং, 2(∠PQR + ∠PSR) = 4 সমকোণ
    বা, ∠PQR + ∠PSR = 4/2 সমকোণ

বা, ∠PQR + ∠PSR = 2 সমকোণ। (প্রমাণিত)

গ বিভাগ—ত্রিকোণমিতি ও পরিমিতি

৫। p = tanθ + sinθ; q = tanθ – sinθ এবং m = cosα।

(ক) A = 45° হলে (1 - sin2 A) / (1 + cos2 A) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

দেওয়া আছে, A = 45°

প্রদত্ত রাশি = (1 - sin2 A) / (1 + cos2 A)

আমরা জানি, sin 45° = 1/√2 এবং cos 45° = 1/√2

এখন মান বসিয়ে পাই:
= [1 - (1/√2)2] / [1 + (1/√2)2]
= (1 - 1/2) / (1 + 1/2)
= [(2-1)/2] / [(2+1)/2]
= (1/2) / (3/2)
= 1/2 × 2/3
= 1/3

উত্তর: নির্ণেয় মান 1/3।

(খ) উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর: p2 - q2 = 4√pq

সমাধান:

দেওয়া আছে,
p = tanθ + sinθ
q = tanθ - sinθ

বামপক্ষ = p2 - q2

= (tanθ + sinθ)2 - (tanθ - sinθ)2
= 4 tanθ sinθ ............ (১ নং সমীকরণ)
[যেহেতু (a+b)2 - (a-b)2 = 4ab]

ডানপক্ষ = 4√pq

= 4√[(tanθ + sinθ)(tanθ - sinθ)]
= 4√(tan2θ - sin2θ)
= 4√[(sin2θ / cos2θ) - sin2θ]
= 4√[sin2θ (1/cos2θ - 1)]
= 4√[sin2θ (sec2θ - 1)]
= 4√(sin2θ ċ tan2θ)
= 4 tanθ sinθ ............ (২ নং সমীকরণ)

দেখা যাচ্ছে, বামপক্ষ এবং ডানপক্ষের মান সমান।
অতএব, p2 - q2 = 4√pq (প্রমাণিত)

(গ) 2(1 - m2) + 3m - 3 = 0 হলে α এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

দেওয়া আছে, m = cosα
এবং সমীকরণটি হলো: 2(1 - m2) + 3m - 3 = 0

বা, 2 - 2m2 + 3m - 3 = 0 [গুণ করে]
বা, -2m2 + 3m - 1 = 0
বা, -(2m2 - 3m + 1) = 0
বা, 2m2 - 3m + 1 = 0

এখন মিডল টার্ম (Middle Term) করি:
বা, 2m2 - 2m - m + 1 = 0
বা, 2m(m - 1) - 1(m - 1) = 0
বা, (m - 1)(2m - 1) = 0

হয়, m - 1 = 0
⇒ m = 1
⇒ cosα = 1
⇒ cosα = cos 0°
⇒ α = 0°

অথবা, 2m - 1 = 0
⇒ 2m = 1
⇒ m = 1/2
⇒ cosα = 1/2
⇒ cosα = cos 60°
⇒ α = 60°

যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে α একটি সূক্ষ্মকোণ (0° < α < 90°), তাই α = 0° গ্রহণযোগ্য নয়।
উত্তর: α = 60°।

৬ নং সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান (পরিমিতি)

দৃশ্যকল্প-(i): একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 432 বর্গমিটার এবং দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ।
দৃশ্যকল্প-(ii): একটি লোহার পাইপের ভিতরের ব্যাসার্ধ r = 5 সে.মি., বাইরের ব্যাসার্ধ R = 6 সে.মি. এবং উচ্চতা h = 5 মিটার।

(ক) 8 সে.মি. ধারবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন নির্ণয় কর।

সমাধান:

আমরা জানি, ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য a হলে, এর আয়তন = a3 ঘন একক।

দেওয়া আছে, ঘনকের ধার a = 8 সে.মি.

সুতরাং, ঘনকের আয়তন = (8)3 ঘন সে.মি.
= 8 × 8 × 8 ঘন সে.মি.
= 512 ঘন সে.মি.

উত্তর: ঘনকের আয়তন 512 ঘন সে.মি.।

(খ) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে:

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার।
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3x মিটার।

প্রশ্নমতে,
3x × x = 432
⇒ 3x2 = 432
⇒ x2 = 432 / 3
⇒ x2 = 144
⇒ x = 12

তাহলে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 12 মিটার এবং দৈর্ঘ্য = 3 × 12 = 36 মিটার।
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(36 + 12) মিটার = 96 মিটার।

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রে:

উদ্দীপক অনুসারে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 96 মিটার।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = 96 / 4 = 24 মিটার।

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a2 = (24)2 বর্গমিটার = 576 বর্গমিটার।

উত্তর: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 576 বর্গমিটার।

(গ) 1 ঘন সে.মি. লোহার ওজন 7.2 গ্রাম হলে পাইপের লোহার ওজন নির্ণয় কর।

সমাধান:

দেওয়া আছে,
পাইপের ভিতরের ব্যাসার্ধ r = 5 সে.মি.
পাইপের বাইরের ব্যাসার্ধ R = 6 সে.মি.
উচ্চতা h = 5 মিটার = 500 সে.মি.

আমরা জানি, পাইপের লোহার আয়তন = πR2h - πr2h = πh(R2 - r2) ঘন একক।

মান বসিয়ে পাই:
লোহার আয়তন = 3.1416 × 500 × (62 - 52) ঘন সে.মি.
= 3.1416 × 500 × (36 - 25) ঘন সে.মি.
= 3.1416 × 500 × 11 ঘন সে.মি.
= 17278.8 ঘন সে.মি.

এখন দেওয়া আছে, 1 ঘন সে.মি. লোহার ওজন = 7.2 গ্রাম।
সুতরাং, মোট ওজন = 17278.8 × 7.2 গ্রাম = 124407.36 গ্রাম।

ওজনটিকে কিলোগ্রামে নিলে: = 124407.36 / 1000 কেজি ≈ 124.41 কেজি।

উত্তর: পাইপের লোহার ওজন প্রায় 124.41 কেজি।

ঘ বিভাগ—পরিসংখ্যান

৭। ৫০ জন শিক্ষার্থীর গণসংখ্যা নিবেশন সারণি নিম্নরূপ :
শ্রেণি ব্যাপ্তি: 21—30 | 31—40 | 41—50 | 51—60 | 61—70 গণসংখ্যা: 8 | 16 | 12 | 9 | 5

৭ নং সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান (পরিসংখ্যান)

দেওয়া আছে, ৫০ জন শিক্ষার্থীর গণসংখ্যা নিবেশন সারণি।

(ক) ১২, ৯, ১৭, ২৮, ২৪, ১৭, ১২, ১৭, ২৫, ২৮ উপাত্তসমূহের প্রচুরক নির্ণয় কর।

সমাধান:

প্রদত্ত উপাত্তগুলো হলো: ১২, ৯, ১৭, ২৮, ২৪, ১৭, ১২, ১৭, ২৫, ২৮।
উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে পাই: ৯, ১২, ১২, ১৭, ১৭, ১৭, ২৪, ২৫, ২৮, ২৮।

পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায়: ১৭ সংখ্যাটি সর্বাধিক বার (৩ বার) আছে।
আমরা জানি, কোনো উপাত্তে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার থাকে, সেটিই হলো প্রচুরক।

উত্তর: নির্ণেয় প্রচুরক ১৭।

(খ) প্রদত্ত সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান:

মধ্যক নির্ণয়ের জন্য ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করি:

শ্রেণি ব্যাপ্তি গণসংখ্যা (fi) ক্রমযোজিত গণসংখ্যা (Fc)
২১—৩০৮৮
৩১—৪০১৬২৪
৪১—৫০১২৩৬
৫১—৬০৯৪৫
৬১—৭০৫৫০
মোটn = ৫০-

এখানে, মোট উপাত্ত সংখ্যা n = ৫০। সুতরাং, n/2 = ৫০/2 = ২৫।
২৫-তম পদটি ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণিতে '৩৬' এর ঘরে অবস্থিত। অর্থাৎ, মধ্যক শ্রেণি হলো: ৪১—৫০।

মধ্যক নির্ণয়ের সূত্র: মধ্যক = L + (n/2 - Fc) × (h / fm)

এখানে, L = ৪১; n/2 = ২৫; Fc = ২৪; fm = ১২; h = ১০।

মান বসিয়ে পাই:
মধ্যক = ৪১ + (২৫ - ২৪) × (১০ / ১২)
= ৪১ + ১ × ০.৮৩৩
= ৪১.৮৩৩ (প্রায়)

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যক ৪১.৮৩ (প্রায়)।

(গ) প্রদত্ত সারণি থেকে গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন কর।

সমাধান:

গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কনের প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণি ব্যাপ্তি শ্রেণির মধ্যবিন্দু (x) গণসংখ্যা
২১—৩০২৫.৫৮
৩১—৪০৩৫.৫১৬
৪১—৫০৪৫.৫১২
৫১—৬০৫৫.৫৯
৬১—৭০৬৫.৫৫

অঙ্কনের বিবরণ:

  1. ছক কাগজের X-অক্ষে প্রতি ৫ ঘরকে ১০ একক ধরে শ্রেণির মধ্যবিন্দু এবং Y-অক্ষে প্রতি ৫ ঘরকে ১০ একক ধরে গণসংখ্যা বসাই।
  2. মূলবিন্দু থেকে প্রথম মধ্যবিন্দু ২৫.৫ এর পূর্ববর্তী ঘরগুলো বোঝাতে ভাঙ্গা চিহ্ন ব্যবহার করি।
  3. প্রাপ্ত বিন্দুগুলো (২৫.৫, ৮), (৩৫.৫, ১৬), (৪৫.৫, ১২), (৫৫.৫, ৯) এবং (৬৫.৫, ৫) স্থাপন করি।
  4. বিন্দুগুলোকে পর্যায়ক্রমে রেখাংশ দ্বারা যুক্ত করি এবং প্রান্তবিন্দু দুটিকে X-অক্ষের সাথে যুক্ত করে দিই।

তাহলে, উদ্দিষ্ট গণসংখ্যা বহুভুজটি অঙ্কিত হলো।

৮। দশম শ্রেণির 50 জন শিক্ষার্থীর ওজনের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি নিম্নরূপ :
শ্রেণি ব্যাপ্তি: 31—40 | 41—50 | 51—60 | 61—70 | 71—80 গণসংখ্যা: 4 | 15 | 25 | 4 | 2

৮ নং সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান (পরিসংখ্যান)

দেওয়া আছে, দশম শ্রেণির ৫০ জন শিক্ষার্থীর ওজনের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি।

(ক) ৬, ৪, ৭, ১৫, ১৪, ৮, ১২, ১৫, ২০, ১৩ উপাত্তসমূহের মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান:

প্রদত্ত উপাত্তগুলো হলো: ৬, ৪, ৭, ১৫, ১৪, ৮, ১২, ১৫, ২০, ১৩।
এখানে মোট উপাত্ত সংখ্যা, n = ১০ (যা একটি জোড় সংখ্যা)।

উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে পাই: ৪, ৬, ৭, ৮, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৫, ২০।

যেহেতু উপাত্ত সংখ্যা জোড়, তাই মধ্যক হবে মধ্যবর্তী পদ দুটির গড়।
মধ্যক = [ (n/2)-তম পদ + (n/2 + 1)-তম পদ ] / ২
= [ ৫-তম পদ + ৬-তম পদ ] / ২

উর্ধ্বক্রমে সাজানো উপাত্ত থেকে দেখা যায়: ৫-তম পদটি হলো ১২ এবং ৬-তম পদটি হলো ১৩।
অতএব, মধ্যক = (১২ + ১৩) / ২ = ২৫ / ২ = ১২.৫

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যক ১২.৫।

(খ) সারণি থেকে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর।

সমাধান:

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণি ব্যাপ্তি মধ্যবিন্দু (xi) গণসংখ্যা (fi) বিচ্যুতি (ui) fiui
৩১—৪০৩৫.৫৪-২-৮
৪১—৫০৪৫.৫১৫-১-১৫
৫১—৬০৫৫.৫ (A)২৫০০
৬১—৭০৬৫.৫৪১৪
৭১—৮০৭৫.৫২২৪
মোটn = ৫০-∑fiui = -১৫

এখানে, আনুমানিক গড় A = ৫৫.৫; শ্রেণি ব্যাপ্তি h = ১০; মোট গণসংখ্যা n = ৫০; ∑fiui = -১৫।

গড় নির্ণয়ের সূত্র: গড় (x̄) = A + [ (∑fiui / n) × h ]

মান বসিয়ে পাই:
গড় = ৫৫.৫ + [ (-১৫ / ৫০) × ১০ ]
= ৫৫.৫ - (১৫০ / ৫০)
= ৫৫.৫ - ৩ = ৫২.৫

উত্তর: নির্ণেয় গড় ৫২.৫ কেজি।

(গ) সারণি থেকে অজিভ রেখা অঙ্কন কর।

সমাধান:

অজিভ রেখা অঙ্কনের প্রয়োজনীয় সারণি:

শ্রেণি ব্যাপ্তি গণসংখ্যা (fi) ক্রমযোজিত গণসংখ্যা (Fc)
৩১—৪০৪৪
৪১—৫০১৫১৯
৫১—৬০২৫৪৪
৬১—৭০৪৪৮
৭১—৮০২৫০

অঙ্কনের বিবরণ:

  1. ছক কাগজের X-অক্ষে প্রতি ৫ ঘরকে ১০ একক ধরে শ্রেণির উচ্চসীমা এবং Y-অক্ষে প্রতি ৫ ঘরকে ১০ একক ধরে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা বসাই।
  2. X-অক্ষের মূলবিন্দু থেকে ৩১ এর পূর্ববর্তী ঘরগুলো বোঝাতে ভাঙ্গা চিহ্ন ব্যবহার করি।
  3. বিন্দুগুলো—(৪০, ৪), (৫০, ১৯), (৬০, ৪৪), (৭০, ৪৮) এবং (৮০, ৫০) স্থাপন করি।
  4. বিন্দুগুলোকে মুক্তহস্তে ক্রমান্বয়ে যোগ করি। শুরুতে (৪০, ৪) বিন্দুটিকে পূর্ববর্তী উচ্চসীমা ৩০ এর সাথে X-অক্ষে মিলিয়ে দিই।

তাহলে, উদ্দীপকের উপাত্তের জন্য অজিভ রেখাটি অঙ্কিত হলো।

৯ নং প্রশ্ন (সংক্ষিপ্ত উত্তর প্রশ্ন)

(যে কোনো দশটি প্রশ্নের উত্তর দাও) | মান— ২ x ১০ = ২০

(ক) (x + 2y, 3) = (5, x + y) হলে (x, y) নির্ণয় কর।

সমাধান: ক্রমজোড়ের শর্তানুসারে,
x + 2y = 5 ........ (i)
x + y = 3 .......... (ii)
(i) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই, y = 2
y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, x + 2 = 3 বা, x = 1
উত্তর: (1, 2)

(খ) A = {1, 3}, B = {3, 4} এবং C = {2, 3, 4} হলে (A ∩ C) × B নির্ণয় কর।

সমাধান: (A ∩ C) = {1, 3} ∩ {2, 3, 4} = {3}
সুতরাং, (A ∩ C) × B = {3} × {3, 4} = {(3, 3), (3, 4)}

(গ) x – y = 3 এবং xy = 10 হলে x + y এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: আমরা জানি, (x + y)² = (x - y)² + 4xy
বা, (x + y)² = 3² + 4(10) = 9 + 40 = 49
সুতরাং, x + y = √49 = ±7

(ঘ) 8m³ + 27n³ রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান: 8m³ + 27n³ = (2m)³ + (3n)³
= (2m + 3n) {(2m)² - (2m)(3n) + (3n)²}
= (2m + 3n)(4m² - 6mn + 9n²)

(ঙ) একটি দ্রব্য 60 টাকায় বিক্রয় করলে 20% লাভ হয়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬০) / ১২০ = ৫০ টাকা।

(চ) p : q = q : r হলে প্রমাণ কর যে, p/r = (p² + q²) / (q² + r²)

সমাধান: দেওয়া আছে, q² = pr
ডানপক্ষ = (p² + pr) / (pr + r²) = p(p+r) / r(p+r) = p/r (প্রমাণিত)

(ছ) একটি দ্রব্য 30% লাভে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান: ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১৩০ টাকা।
অনুপাত = বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য = ১৩০ : ১০০ = ১৩ : ১০

(জ) 4 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন কর।

উত্তর: বর্গের একটি বাহু ৪ সে.মি. মেপে নিয়ে চারটি বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ ৯০° করে অঙ্কন করতে হবে। [অঙ্কিত হলো]

(ঝ) চিত্রে, AC = 8 cm এবং BC = 6 cm হলে PQ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান: PQ = AC + BC (কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব) = ৮ + ৬ = ১৪ সে.মি.

(ঞ) (sinA + cosA) / (sinA – cosA) = (√3 + 1) / (√3 – 1) হলে দেখাও যে, tanA = √3।

সমাধান: যোজন-বিয়োজন করে পাই,
2sinA / 2cosA = 2√3 / 2 ⇒ tanA = √3 (দেখানো হলো)

(ট) প্রমাণ কর যে, sin2θ = cos4θ ; যখন θ = 15°

সমাধান: বামপক্ষ = sin(2×15°) = sin30° = 1/2
ডানপক্ষ = cos(4×15°) = cos60° = 1/2 (প্রমাণিত)

(ঠ) একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার, প্রস্থ 8 মিটার এবং উচ্চতা 3 মিটার। আয়তন কত?

সমাধান: আয়তন = ১২ × ৮ × ৩ = ২৮৮ ঘনমিটার。

(ড) একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 14 মিটার, প্রস্থ 10 মিটার এবং উচ্চতা 4 মিটার। পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: ক্ষেত্রফল = ২(১৪×১০ + ১০×৪ + ৪×১৪) = ২(১৪০ + ৪০ + ৫৬) = ৪৭২ বর্গমিটার。

(ঢ) কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলতে কী বোঝ? কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপগুলো কী কী?

উত্তর: উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে। এর পরিমাপ তিনটি: গাণিতিক গড়, মধ্যক ও প্রচুরক।

(ণ) সারণি হতে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি নির্ণয় কর।

শ্রেণি ব্যাপ্তি গণসংখ্যা ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
৩১-৪০৩৩
৪১-৫০৫৮
৫১-৬০৮১৬
৬১-৭০৬২২
৭১-৮০৪২৬

আপনার প্রশ্ন-পরামর্শ কিংবা অনুরোধ জানাতে...

WhatsApp Channel Join Now!
Telegram Group Join Now!
Facebook Group
Tags
  • Newer

    দাখিল পরীক্ষা ২০২৬ গণিত বহুনির্বাচনি এবং সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান - Dakhil Final Exam 2026 Math Questions Solution

You may like these posts

Show more

Post a Comment

0Comments

Post a Comment (0)

#buttons=(Ok, Go it!) #days=(20)

Our website uses cookies to enhance your experience. Learn More
Ok, Go it!
Share to other apps
Copy Post Link